ММФ НГУ, гр. 127, 128
Полугодовой курс, 1993-94 уч. г.
Весенний семестр
Лектор - Д. А. Коршунов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Глава 1. Последовательность независимых измерений: основные понятия
  1. Выборочное распределение и выборочная функция распределения. Теорема Гливенко - Кантелли.
  2. Выборочное пространство как конкретная реализация модели независимых наблюдений.
  3. Условие доминирования для семейства распределений. Примеры: нормальное и пуассоновское семейства. Расстояние Хеллингера.
    4.

Глава 2. Проверка статистических гипотез: выбор из конечного числа простых гипотез
  1. Постановки задачи о проверке гипотезы о распределении выборки. Статистический критерий: нерандомизированный и рандомизированный. Вероятности ошибок.
  2. Понятие состоятельности семейства решающих правил. Функция правдоподобия, правило максимального правдоподобия. Состоятельность правила максимального правдоподобия. Примеры: нормальное и пуассоновское семейства.
  3. Различение двух простых гипотез. Размер и мощность критерия. Лемма Неймана - Пирсона о существовании наиболее мощного критерия.
  4. Распознавание более чем двух простых гипотез: байесовский подход. Байесовское решающее правило: теорема о его существовании. Состоятельность байесовского решающего правила при положительных весах гипотез.
    5.

Глава 3. Проверка гипотез: сложные альтернативы
  1. Постановка задачи о построении равномерно наиболее мощного критерия для проверки гипотезы со сложной альтернативой.
  2. Равномерно наиболее мощные критерии для экспоненциальных семейств распределений.
  3. Хи-квадрат распределение.
  4. Хи-квадрат критерий: проверка гипотез по группированным данным. Теорема Пирсона, её доказательство в случае двух интервалов. Состоятельность критерия хи-квадрат.
  5. Критерий Колмогорова для проверки гипотезы о распределении выборки, его состоятельность.
    6.

Глава 4. Точечное оценивание параметра
  1. Постановка задачи оценивания параметра. Состоятельные и сильно состоятельные семейства оценок.
  2. Методы построения оценок. Метод моментов, его состоятельность. Метод подстановки, условия его состоятельности. Метод максимального правдоподобия, его связь с методом подстановки.
  3. Среднеквадратичный подход к сравнению оценок. Смещение и среднеквадратичное уклонение оценки.
  4. Оценка снизу для среднеквадратичного риска: неравенство Рао - Крамера. Эффективные и R-эффективные оценки.
  5. Примеры: пуассоновское, нормальное и равномерное семейства.
  6. Сравнение асимптотически нормальных оценок.
  7. Проверка асимптотической нормальности оценок метода моментов. Теорема непрерывности.
    8.

Глава 5. Построение доверительных интервалов
  1. Постановка задачи о построении доверительного интервала заданного уровня.
  2. Два способа построения доверительного интервала заданного уровня.
  3. Примеры: оценка параметров нормального распределения. Лемма Фишера.
  4. Проверка гипотезы о среднем значении выборки из нормального распределения.
  5. Проверка гипотезы о равенстве средних значений в двух выборках из нормального распределения.
  6. Построение асимптотического доверительного интервала по асимптотически нормальной оценке.
    7.

Глава 6. Асимптотические свойства оценок максимального правдоподобия
  1. Построение оценки максимального правдоподобия.
  2. Состоятельность оценки максимального правдоподобия в случае экспоненциальных семейств распределений.
  3. Условия состоятельности оценки максимального правдоподобия.
  4. Асимптотическая нормальность оценки максимального правдоподобия при выполнении условий регулярности.
    5.

Литература
  1. Боровков А. А. Математическая статистика. Ч. I, II. Новосибирск: НГУ, 1983, 1984.
  2. Боровков А. А. Математическая статистика. М.: Наука, 1984.
  3. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.: Наука, 1965.
    4.