Годовой курс, 1998-99 уч. г.
Лектор - Д. А. Коршунов

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 
Осенний семестр

Глава 1. Введение

1. Достаточные условия существования непрерывной модификации процесса в терминах малости моментов приращений процесса: теорема Колмогорова.
2. Винеровский процесс. Стохастическая непрерывность, непрерывность траекторий с вероятностью 1.
3. Недифференцируемость траектории винеровского процесса в любой точке.
4. Пуассоновский процесс. Стохастическая непрерывность. Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса.
5. Совместное распределение моментов скачков пуассоновского процесса.
6. Сложный (обобщенный) пуассоновский процесс.
7. Гауссовские распределения. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция. Броуновский мост.

1. Гильбертово пространство L2(W,F,P). Среднее значение процесса, корреляционная (ковариационная) функция. Ковариационные функции винеровского и пуассоновского процессов.
2. Непрерывность случайного процесса в L2. Критерий непрерывности. Непрерывность винеровского и пуассоновского процессов в L2.
3. Дифференцирование случайного процесса в L2. Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2.
4. Интеграл Римана от случайного процесса в L2.
5. Стационарные (в широком смысле) случайные процессы и последовательности. Положительная определенность ковариационной функции.
6. Элементарная стохастическая ортогональная мера. Структурная функция стохастической меры. Стохастический интеграл от неслучайной функции.
7. Распределение интеграла от неслучайной функции по винеровской мере.
8. Спектральная мера стационарной последовательности. Понятие спектральной плотности.
9. Спектральное представление стационарной последовательности.
10. Формула Шеннона - Котельникова.
11. Примеры стационарных последовательностей и их спектров.
12. Задача прогноза случайной последовательности.
13. Вполне детерминированные случайные последовательности. Критерий детерминированности.
14. Вполне недетерминированные случайные последовательности. Критерий недетерминированности.
15. Теорема о разложении стационарной последовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие.
16. Абсолютно точный прогноз вполне детерминированных последовательностей.
17. Теорема об общем представлении вполне недетерминированной случайной последовательности в виде линейной комбинации некоррелированных величин.
18. Теорема об общем представлении спектральной плотности вполне недетерминированной случайной последовательности.
19. Прогноз вполне недетерминированных последовательностей (метод Винера).
20. Построение статистической оценки среднего значения стационарной последовательности. Достаточное условие состоятельности оценки.
21. Построение статистической оценки спектральной плотности стационарной последовательности. Понятия периодограммы, ядра Фейера. Асимптотическая несмещенность периодограммы как оценки спектральной плотности.
22. Периодограмма - несостоятельная оценка спектральной плотности: вычисления на примере независимых наблюдений с конечным четвертым моментом.
23. Сглаженная периодограмма. Выбор параметра сглаживания, при котором сглаженная периодограмма является одновременно асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой истинного значения спектральной плотности.

1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
3. Юринский В. В. Случайные процессы. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1987.

1. Поток событий. Поток однородных событий.
2. Условия простейшего потока: стационарность приращений, отсутствие последействия, ординарность.
3. Дифференциальные уравнения простейшего потока, их решение.
4. Интенсивность потока. Параметр потока.
5. Описание системы обслуживания с ожиданием.
6. Марковское свойство процесса обслуживания.
7. Уравнения для системы обслуживания с ожиданием.
8. Стационарное решение системы дифференциальных уравнений.
9. Распределение длительности ожидания обслуживания, когда система находится в стационарном режиме. Средняя длительность ожидания.
10. Анализ системы обслуживания в условиях большой нагрузки.
11. Процессы гибели и размножения; связь с системами обслуживания; составление дифференциальных уравнений.
12. Процесс чистого размножения: теорема Феллера о необходимом и достаточном условии отсутствия неконтролируемого размножения.
13. Ненагруженный резерв без восстановления.
14. Нагруженный резерв без восстановления.
15. Системы с потерями.
16. Простейший нестационарный поток. Мгновенное значение параметра потока. Уравнения для определения вероятностей. Решение уравнений - неоднородный процесс Пуассона.
17. Существование параметра общего стационарного потока.
18. Общая форма стационарного потока без последействия. Уравнения для определения вероятностей. Решение уравнений - сложный процесс Пуассона.

1. Винеровский процесс, его свойства.
2. Момент достижения траекторией винеровского процесса границы области, конечность его среднего значения. Среднее время достижения границы круга из его центра.
3. Бесконечная дифференцируемость вероятностей выхода из области.
4. Гармоничность вероятностей выхода из области.
5. Понятие регулярной точки границы. Краевые условия в регулярных точках границы.
6. Некоторые свойства одно- и двумерных винеровских процессов.
7. Достаточное геометрическое условие регулярности граничной точки.
8. Решение задачи Дирихле.
9. Свойства траектории двумерного винеровского процесса: вероятность попадания в фиксированную точку, плотность траектории всюду на плоскости.
10. Решение задачи Дирихле для полуплоскости.
11. Среднее время выхода винеровской траектории из области. Уравнение Пуассона.

1. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
2. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.