Годовой курс, 1997-98 уч. г.
Лектор - Д. А. Коршунов

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 
Осенний семестр

Глава 1. Введение

1. Критерий Колмогорова о существовании непрерывной модификации процесса в терминах малости моментов приращений процесса.
2. Общий вид характеристической функции, среднего значения и дисперсии стохастически непрерывного однородного процесса с независимыми приращениями.
3. Винеровский процесс. Стохастическая непрерывность, непрерывность траекторий с вероятностью 1.
4. Недифференцируемость траектории винеровского процесса в любой точке.
5. Пуассоновский процесс. Стохастическая непрерывность. Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса.
6. Совместное распределение моментов скачков пуассоновского процесса.
7. Сложный (обобщенный) пуассоновский процесс.
8. Гауссовские распределения. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция.

1. Гильбертово пространство L2(W,F,P). Среднее значение процесса, корреляционная (ковариационная) функция. Ковариационные функции винеровского и пуассоновского процессов.
2. Непрерывность случайного процесса в L2. Критерий непрерывности. Непрерывность винеровского и пуассоновского процессов в L2.
3. Дифференцирование случайного процесса в L2. Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2.
4. Интеграл Римана от случайного процесса в L2.
5. Стационарные (в широком смысле) случайные процессы и последовательности. Положительная определенность ковариационной функции.
6. Элементарная стохастическая ортогональная мера. Структурная функция стохастической меры. Стохастический интеграл от неслучайной функции.
7. Распределение интеграла от неслучайной функции по винеровской мере.
8. Физический смысл спектральной теории.
9. Спектральная мера стационарной последовательности. Понятие спектральной плотности.
10. Спектральное представление стационарной последовательности.
11. Формула Шеннона - Котельникова.
12. Примеры стационарных последовательностей и их спектров.
13. Задача прогноза случайной последовательности.
14. Вполне детерминированные случайные последовательности. Критерий детерминированности.
15. Вполне недетерминированные случайные последовательности. Критерий недетерминированности.
16. Теорема о разложении стационарной последовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие.
17. Абсолютно точный прогноз вполне детерминированных последовательностей.
18. Теорема об общем представлении вполне недетерминированной случайной последовательности в виде линейной комбинации некоррелированных величин.
19. Теорема об общем представлении спектральной плотности вполне недетерминированной случайной последовательности.
20. Прогноз вполне недетерминированных последовательностей (метод Винера).
21. Построение статистической оценки среднего значения стационарной последовательности. Достаточное условие состоятельности оценки.
22. Построение статистической оценки спектральной плотности стационарной последовательности. Понятия периодограммы, ядра Фейера. Асимптотическая несмещенность периодограммы как оценки спектральной плотности.
23. Семинварианты (кумулянты), основные свойства. Периодограмма - несостоятельная оценка спектральной плотности.
24. Сглаженная периодограмма. Оценка смещения и среднеквадратичного уклонения сглаженной периодограммы от истинного значения спектральной плотности. Выбор параметра сглаживания, при котором сглаженная периодограмма является одновременно асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой спектральной плотности.

1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
3. Юринский В. В. Случайные процессы. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1987.

1. Определение цепи Маркова и его следствия. Независимость прошлого и будущего цепи при известном настоящем. Прореженная и обращенная во времени цепи Маркова.
2. Матричная запись вероятностей перехода.
3. Асимптотика вероятностей перехода за большое число шагов. Эргодическая теорема для регулярной цепи с конечным множеством состояний. Экспоненциальная скорость сходимости переходных вероятностей к финальным вероятностям.
4. Существенные и несущественные состояния, их свойства.
5. Разложимые цепи Маркова: сообщающиеся и несообщающиеся состояния, периодические состояния, подклассы. Теорема солидарности.
6. Эргодическая теорема (в терминах свойств состояний) для конечной цепи Маркова. Полное описание асимптотического поведения вероятностей перехода общей цепи Маркова с конечным числом состояний.
7. Понятие возвратного состояния счетной цепи Маркова. Теорема солидарности для возвратных состояний.
8. Возвратность и невозвратность случайных блужданий в d-мерном вещественном пространстве.
9. Эргодическая теорема для счетной цепи Маркова.
10. Достаточное условие эргодичности счетной цепи в терминах среднего сноса. Применение к случайным блужданиям с задержкой в нуле. Связь с усиленным законом больших чисел.

1. Поток событий. Поток однородных событий.
2. Условия простейшего потока: стационарность приращений, отсутствие последействия, ординарность.
3. Дифференциальные уравнения простейшего потока, их решение.
4. Интенсивность потока. Параметр потока.
5. Описание системы обслуживания с ожиданием.
6. Марковское свойство процесса обслуживания.
7. Уравнения для системы обслуживания с ожиданием.
8. Стационарное решение системы дифференциальных уравнений.
9. Распределение длительности ожидания обслуживания, когда система находится в стационарном режиме. Средняя длительность ожидания.
10. Анализ системы обслуживания в условиях большой нагрузки.
11. Процессы гибели и размножения; связь с системами обслуживания.
12. Ненагруженный резерв без восстановления.
13. Нагруженный резерв без восстановления.
14. Системы с потерями.
15. Простейший нестационарный поток. Мгновенное значение параметра потока. Уравнения для определения вероятностей. Решение уравнений - неоднородный процесс Пуассона.
16. Существование параметра общего стационарного потока.
17. Общая форма стационарного потока без последействия. Уравнения для определения вероятностей. Решение уравнений - сложный процесс Пуассона.

1. Винеровский процесс, его свойства.
2. Момент достижения траекторией винеровского процесса границы области, конечность его среднего значения. Среднее время достижения границы круга из его центра.
3. Бесконечная дифференцируемость вероятностей выхода из области.
4. Гармоничность вероятностей выхода из области.
5. Понятие регулярной точки границы. Краевые условия в регулярных точках границы.
6. Некоторые свойства одно- и двумерных винеровских процессов.
7. Достаточное геометрическое условие регулярности граничной точки.
8. Решение задачи Дирихле.
9. Свойства траектории двумерного винеровского процесса: вероятность попадания в фиксированную точку, плотность траектории всюду на плоскости.
10. Решение задачи Дирихле для полуплоскости.
11. Среднее время выхода винеровской траектории из области. Уравнение Пуассона.

1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
3. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.: Наука, 1967.