Годовой курс, 2001-2002 уч. г.
Лектор - Д. А. Коршунов

 

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 
Осенний семестр

Глава 1. Введение
  1. Определения: случайный процесс, случайная последовательность, случайное поле. Значение и реализация (траектория) процесса. Стохастически эквивалентные процессы.
  2. s-Алгебра, порожденная цилиндрическими множествами. Выборочное вероятностное пространство. Распределение случайного процесса. Неизмеримость множества непрерывных функций относительно цилиндрической s-алгебры.
  3. Конечномерные распределения процесса.
  4. Основные типы случайных процессов. Стохастически непрерывные и непрерывные в среднеквадратичном процессы. Процессы с непрерывными траекториями. Однородные процессы с независимыми приращениями.
  5. Стохастически непрерывные однородные процессы с независимыми приращениями: общий вид характеристической функции.

 

Глава 2. Свойства траекторий

  1. Достаточные условия существования непрерывной модификации процесса в терминах малости моментов приращений процесса: теорема Колмогорова.
  2. Винеровский процесс. Стохастическая непрерывность, непрерывность траекторий с вероятностью 1.
  3. Недифференцируемость траектории винеровского процесса в любой точке.
  4. Пуассоновский процесс. Стохастическая непрерывность. Ступенчатый характер траекторий пуассоновского процесса.
  5. Совместное распределение моментов скачков пуассоновского процесса.
  6. Сложный (обобщенный) пуассоновский процесс.
  7. Гауссовские распределения. Гауссовские процессы. Среднее значение и ковариационная функция.

 

Глава 3. Линейная теория случайных процессов с конечными вторыми моментами

  1. Гильбертово пространство L2(W,F,P). Среднее значение процесса, корреляционная (ковариационная) функция. Ковариационные функции винеровского и пуассоновского процессов.
  2. Непрерывность случайного процесса в L2. Критерий непрерывности. Непрерывность винеровского и пуассоновского процессов в L2.
  3. Дифференцирование случайного процесса в L2. Недифференцируемость винеровского и пуассоновского процессов в L2.
  4. Интеграл Римана от случайного процесса в L2.
  5. Стационарные (в широком смысле) случайные процессы и последовательности. Положительная определенность ковариационной функции.
    6.
  6. Элементарная стохастическая ортогональная мера. Структурная функция стохастической меры. Стохастический интеграл от неслучайной функции.
  7. Распределение интеграла от неслучайной функции по винеровской мере.
  8. Спектральная мера стационарной последовательности. Понятие спектральной плотности.
  9. Спектральное представление стационарной последовательности.
  10. Формула Шеннона - Котельникова.
  11. Примеры стационарных последовательностей и их спектров.
  12. Задача прогноза случайной последовательности.
  13. Вполне детерминированные случайные последовательности. Критерий детерминированности.
  14. Вполне недетерминированные случайные последовательности. Критерий недетерминированности.
  15. Теорема о разложении стационарной последовательности на вполне детерминированную и вполне недетерминированную составляющие.
  16. Теорема об общем представлении вполне недетерминированной случайной последовательности в виде линейной комбинации некоррелированных величин.
  17. Теорема об общем представлении спектральной плотности вполне недетерминированной случайной последовательности.
  18. Построение статистической оценки среднего значения стационарной последовательности. Достаточное условие состоятельности оценки.
  19. Построение статистической оценки спектральной плотности стационарной последовательности. Понятие периодограммы, ядра Фейера. Асимптотическая несмещённость периодограммы как оценки спектральной плотности.

 

Список литературы

  1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
  2. Гнеденко Б. В., Коваленко И. Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987.
  3. Юринский В. В. Случайные процессы. Учебное пособие. Новосибирск: НГУ, 1987.