Кафедра теории вероятностей
Спецкурс, 1994-1995 уч. г.
ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Глава 1. Общие понятия
1. Понятие случайного процесса
1. Определение случайного процесса. 2. Конечномерные распределения. 3. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях. 4. Выборочное пространство в конечномерном случае. 5. Доказательство теоремы Колмогорова. 6. Условие согласования в терминах характеристических функций.
2. Свойства реализаций
1. Стохастическая эквивалентность процессов. 2. Различные понятия непрерывности процесса. 3. Достаточное условие непрерывности процесса. Теорема Колмогорова. Лемма Бореля - Кантелли.
Глава 2. Процессы с независимыми приращениями
1. Определения
1. Процесс с независимыми приращениями. Конечномерные распределения. 2. Однородный процесс. 3. Безгранично делимые распределения. 4. Однородный процесс с независимыми приращениями, стохастически непрерывный. Связь с безгранично делимым распределением.
2. Винеровский процесс
1. Определение. 2. Непрерывность траекторий. 3. Недифференцируемость траекторий. Неограниченность вариации винеровского процесса.
3. Пуассоновский процесс
1. Определение. Стохастическая непрерывность. 2. Существование возрастающей, непрерывной справа модификации. 3. Распределение скачков. 4. Условное распределение скачков. 5. Распределение интервалов между скачками. 6. Обобщенный пуассоновский процесс.
4. Описание класса безгранично делимых распределений
1. Замкнутость класса L. 2. Аппроксимация пуассоновским классом. 3. Теорема Леви - Хинчина.
5. Непрерывные процессы с независимыми приращениями - гауссовские.
6. Процессы без разрывов второго рода
1. Разрывы второго рода. 2. Стохастически непрерывный на отрезке процесс - "равномерно стохастически непрерывный" процесс. 3. Неравенство для максимума частичных сумм. 4. Стохастически непрерывные процессы с независимыми приращениями - процессы без разрывов второго рода.
7. Критерий ступенчатости стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями
1. Теорема Пуассона (для схемы серий). 2. Техническая лемма. 3. Ступенчатые функции. 4. Критерий ступенчатого процесса. 5. Пуассоновость числа скачков.
8. Выделение ступенчатой компоненты из стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями
1. Ступенчатая составляющая, корректность определения. 2. Свойства процесса
nt(A). 3. Свойства процесса Xt(A). 4. Независимость компонент разложения процесса в сумму.9. Выделение непрерывной компоненты из стохастически непрерывного процесса с независимыми приращениями
1. Неравенство Колмогорова для максимума частичных сумм. 2. Неравенство Колмогорова для непрерывного справа процесса с независимыми приращениями. 3. Некоторые свойства пространств
C[0,1] и L2[0,1]. 4. Выделение непрерывной компоненты.
Глава 3. Вероятностное решение некоторых уравнений
1. Винеровский процесс
1. Определения. 2. Свойства преобразований от винеровского процесса. 3. Распределение в момент выхода из круга, среднее время выхода. 4. Марковское и строго марковское свойства.
2. Гармоничность вероятностей выхода
1. Гладкость функции вероятностей выхода. 2. Гармоничность функции вероятностей выхода.
3. Регулярные и нерегулярные точки границы
1. Регулярная точка границы. 2. Выполнение граничного условия в регулярной точке. 3. Критерий регулярности в терминах траекторий, начинающихся из самой граничной точки.
4. Закон нуля и единицы. Достаточный признак регулярности
1. Закон нуля и единицы для момента первого выхода из области траектории, выходящей из граничной точки. 2. Достаточное условие регулярности.
5. Задача Дирихле
1. Решение задачи Дирихле для области с гладкой границей. 2. Минимальность решения, даваемого винеровским процессом, в случае неограниченной области. 3. Использование дифференциальных уравнений для вывода некоторых свойств многомерного винеровского процесса. 4. Распределение положения блуждающей по плоскости броуновской частицы в момент ее первого выхода на данную прямую. 5. Решение задачи Дирихле для полуплоскости.
6. Вероятностное решение уравнения Пуассона
Литература