ММФ НГУ, гр. 2125-2136
Полугодовой курс, 2004-2005 уч. г.
Лектор - Д. А. Коршунов

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Глава 1. Вероятность
  1. Конечное вероятностное пространство. Основные понятия, задача о разделе ставки, спортлото. Классическое определение вероятности. Свойства математического ожидания, вероятности.
  2. Общее определение вероятности. Понятие алгебры, сигма-алгебры, конечно и счетно-аддитивной вероятностей. Геометрическая вероятность. Задача Бюффона.
  3. Простые случайные величины. Определение. Математическое ожидание простой случайной величины, корректность его определения. Вероятность объединения нескольких событий.
    4.

 

Глава 2. Условная вероятность и независимость
  1. Условная вероятность. Определения. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
  2. Независимость событий и простых случайных величин.
  3. Последовательность независимых испытаний Бернулли. Распределение времени ожидания первого успеха. Распределение числа успехов, биномиальное распределение.
  4. Теорема Пуассона. Уточненная теорема Пуассона.
    5.

 

Глава 3. Случайные величины и распределения
  1. Случайная величина: эквивалентные определения, замкнутость относительно обычных операций анализа.
  2. Сходимость по вероятности и сходимость с вероятностью 1.
  3. Математическое ожидание, корректность его определения. Переход к пределу и математическое ожидание (без док-ва).
  4. Неравенство Чебышева.
  5. Корреляция и независимость. Дисперсия. Критерий независимости. Закон больших чисел в форме Чебышева.
  6. Вычисление математического ожидания: распределение случайной величины, функция распределения, формула замены переменной. Теорема аппроксимации. Плотность.
  7. Совместные распределение и функция распределения.
  8. Независимые случайные величины: совместное распределение, критерии независимости.
  9. Свертка распределений.
    10.

 

Глава 4. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин
  1. Слабая сходимость распределений и сходимость интегралов от гладких финитных функций.
  2. Слабая сходимость распределений и сходимость функций распределения.
  3. Слабая сходимость и сходимость интегралов от неограниченных непрерывных функций.
  4. Характеристические функции, основные свойства.
  5. Критерий слабой сходимости в терминах характеристических функций.
  6. Центральная предельная теорема, сходимость интегралов от неограниченных непрерывных функций.
  7. Закон больших чисел при условии конечности среднего значения.
  8. Теорема Пуассона для событий разной вероятности.
    9.

 

Глава 5. Усиленный закон больших чисел
  1. Лемма Бореля - Кантелли.
  2. Неравенство Колмогорова.
  3. УЗБЧ для одинаково распределенных независимых слагаемых при конечном первом моменте.
  4. Необходимость существования первого момента одного слагаемого для справедливости УЗБЧ.
    5.

 

Глава 6. Предельные теоремы для сумм случайных векторов
  1. Постановка задачи.
  2. Слабая сходимость многомерных распределений. Критерий слабой сходимости (без док-ва). Условие сходимости вероятности попадания в эллипсы.
  3. Характеристическая функция многомерного распределения. Основные свойства.
  4. Формула обращения для плотностей и теорема Парсеваля в случае нескольких переменных.
  5. Критерий слабой сходимости в терминах характеристических функций.
  6. УЗБЧ для сумм независимых одинаково распределенных случайных векторов.
  7. Многомерное нормальное распределение. Характеристическая функция, плотность в невырожденном случае, линейные преобразования.
  8. Центральная предельная теорема для векторов.
    9.

 

Список литературы

  1. Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986.
  2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1, 2. М.: Мир, 1984.