Font (2 3) - + Letter spacing (4 5) - + Word spacing (6 7) - + Line spacing (8 9) - +

1.5 Key Definitions and Relationships

Let $A,B\subseteq\Omega$ and $\{A_{1},\dots,A_{m}\}$ form a partition of $A$ .

1.

The axioms of probability are positivity: $\operatorname{\mathsf{P}}\left({A}\right)\geq 0$ ; finiteness: $\operatorname{\mathsf{P}}\left({\Omega}\right)=1$ ; and additivity: $\operatorname{\mathsf{P}}\left({A\cup B}\right)=\operatorname{\mathsf{P}}\left% ({A}\right)+\operatorname{\mathsf{P}}\left({B}\right)$ if $A\cap B=0$ .
2.

The partition law (extends additivity): $\operatorname{\mathsf{P}}\left({\cup_{i=1}^{m}A_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{m}% \operatorname{\mathsf{P}}\left({A_{i}}\right)$ .
3.

The addition law: $\operatorname{\mathsf{P}}\left({A\cup B}\right)=\operatorname{\mathsf{P}}\left% ({A}\right)+\operatorname{\mathsf{P}}\left({B}\right)-\operatorname{\mathsf{P}% }\left({A\cap B}\right)$ .
4.

$A$ and $B$ are independent events if and only if $\operatorname{\mathsf{P}}\left({A\cap B}\right)=\operatorname{\mathsf{P}}\left% ({A}\right)\operatorname{\mathsf{P}}\left({B}\right)$ .
5.

The law of total probability is $\operatorname{\mathsf{P}}\left({A\cap B}\right)=\sum_{i=1}^{m}\operatorname{% \mathsf{P}}\left({A_{i}\cap B}\right)$ .
6.

Conditional probability: $\operatorname{\mathsf{P}}\left({A|B}\right)=\operatorname{\mathsf{P}}\left({A% \cap B}\right)/\operatorname{\mathsf{P}}\left({B}\right)$ .
7.

Bayes Theorem: $\operatorname{\mathsf{P}}\left({A|B}\right)=\operatorname{\mathsf{P}}\left({A}% \right)\operatorname{\mathsf{P}}\left({B|A}\right)/\operatorname{\mathsf{P}}% \left({B}\right)$ .